Çıkarma işlemiyle imtihanım

Çıkarma işleminin nasıl yapıldığını hemen hemen hepimiz biliriz. Hatta yapamayanlarmız bile kendi kendimize yaptığımız şuna benzer konuşmaları hatırlayacaktır: 3'ten 5 çıkmaz. Komşuya gittik 1 aldık. 13'ten 5 çıktı 8 kaldı... 

Geçenlerde Ümit'le matematik sınavı için çalışıyorduk. Hangi konuların olduğunu sorduğumda "ikilik düzende toplama ve çıkarma da var ve çıkarmayı pek beceremiyorum" dedi. "Onluk düzenle arasında hiç fark yok sadece 10 kullandığın her yerde 2 kullanacaksın" dedim. Tabii ki beklediğim tepkiyi alamadım. Bunun üzerine çıkarma işlemini yukarıdaki öğrendiğim şekliyle örneklerle onluk düzende açıklamaya başladım.  

Sonra 1'den 3 çıkmadığı için komşuya gidip 1 alma mantığını anlatmaya başladım. 351 sayısının değeri aynı kalmak üzere daha başka şekillerde de yazabileceğimizi söyledim.  Bu dönüşümleri yukarıdaki basamakların hepsi altındaki basamaklardan büyük olana kadar devam ettirebileceğimizi de ekledim.

$351 = 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 1 \cdot 1 \cdot 10^0 = 3 \cdot 10 ^2 + 4 \cdot 10 ^ 1 + (10 + 1) \cdot 10^0 = 3 \cdot 10 ^2 + 4 \cdot 10 ^ 1 + (11) \cdot 10^0$

Bunu kullandıktan sonra işlem şu hali alacak:

Şekillerde kullandığım işaretleri açıklayayım önce. Kırmızı sayılar çıkarma işlemini yaparken değişikliğe uğrayan değerler. Oklar değişikliklerin hangi yönde meydana geldiğini ve okların başındaki ve sonundaki sayılar da değişime uğrayan sayıların nasıl değiştiğini gösteriyor. Yani yukarıdaki işlemde onlar basamağındaki 5 rakamı 1 azalarak 4 olmuş ve birler basamağındaki 1 ise 10 artarak 11 olmuş. Onluk düzende 9'dan büyük bir rakam olmadığından herhangi bir basamakta bulunan 9'dan büyük sayıları parantez içinde gösterdim.

Sonra bu mantığı daha belalı bir çıkartma işlemi örneği için de verdim.

1 alacağımız komşu hemen sol yanımızda değil, daha uzakta. O zaman aradaki basamakları da değiştirmemiz gerekiyor.

$100 = 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 1 \cdot 10^0 = 0 \cdot 10 ^2 + 9 \cdot 10 ^ 1 + (10 + 0) \cdot 10^0 = 0 \cdot 10 ^2 + 9 \cdot 10 ^ 1 + (10) \cdot 10^0$

Yani aslında komşudan 1 almak, komşunun basamak değeri kadar sayıyı sağdaki basamaklara dağıtmak demek. Eğer komşu yüzler basamağındaysa 100 sayısını sağdaki basamaklara dağıtıyoruz. 10 tanesini birler basamağına kalan 90'ı da onlar basamağına.

Bütün bunları anlattıktan sonra Ümit'in verdiği tepkiden bu yaştaki çocukların bu kadar soyut düşünemediğini anladım. Başka bir yöntem bilmediğimden ilkokulda çıkartma işlemini nasıl yaptıklarını sordum. Kullandıkları yöntem ile toplama işlemi arasında mekanik olarak hemen hemen fark yoktu. Toplamada basamak toplamı 10'u geçince elde var 1 deyip bunu üstteki sayının hemen soldaki basamağına ekliyorduk. Çıkarmada ise alttaki basamak üsttekinden büyükse üstteki basamağa 10 ekleniyor ve buna karşılık alttaki sayının hemen soldaki basamağına 1 ekleniyor. Böylece yukarıdaki sayının basamaklarıyla oynamaya gerek olmuyor. Bu yöntemi bir örnekle açıklamaya çalışayım:








Bu işlemi yapmak istediğimizde sırasıyla şu adımları yapıyoruz. 0'dan 1 çıkmayacağı için 0 yerine 10 yazıyoruz ve bu sırada gökten inen 10 sayısı için soldaki basamağa 1 ekliyoruz. Burada dikkat çeken şey yukarıdan gelen 10 ile sola eklenen 1'in sayısal değerlerinin aynı olması, çünkü soldaki basamağın değeri bulunduğumuz basamağın 10 katıdır. İki sayıya da aynı miktarda ekleme yaptığımızdan işlemin değeri değişmemiş olur.

$a$ ve $b$ iki adet tam sayı olsun ve $a - b$ işlemini yapmaya çalışalım. $a$ sayısının bir $i$ basamağını (basamaklar en sağdan sola doğru 0'dan başlayarak indeksleniyor) 10 artırırsak ve aynı zamanda $b$ sayısının $i+1$ indeksli basamağını 1 artırırsak aşağıdaki gibi çıkarma işleminin sonucunun değişmediğini görürüz:

$(a + 10 \cdot 10^i) - (b + 1 \cdot 10^{i+1}) = (a + 10^{i+1}) - (b + 10^{i+1}) = a - b$


Bu yöntemi kullanınca aşağıdaki işlemi elde ediyoruz.

Onlar basamağı için de aynı yöntemi uyguluyoruz

ve doğru cevabı buluyoruz.

Birinci yöntemde ilk sayının değerini değiştirmeden bu sayıyı işimize yarayacak şekilde daha farklı yazarak problemimizi çözüyoruz. İkinci yöntemde ise iki sayıyı da aynı miktarda büyüterek farkın aynı kalmasını sağlıyoruz.

İkinci yöntemin birinci yönteme göre avantajı işlemde sadece yerel ve otomatik değişiklikler gerektirmesi. Yerelden kasıt her adımda sadece bulunduğumuz basamağı ve onun solundaki basamağı değiştiriyor olmamız. Birinci yöntemde komşudan 1 alırken komşunun bulunduğu basamakla bulunduğumuz basamak arasındaki her basamağı değiştirmemiz gerekiyor. Otomatik olması da yukarıdaki sayıya 10 (ya da kullanılan sayı sistemi hangisiyse o kadar, yani ikilik düzende 2) eklerken alttaki sayının hemen soldaki basamağına her zaman 1 ekliyor olmamız. Birinci yöntemdeki gibi değişik durumları ayrı değerlendirmemize gerek yok.

İlkokul ya da ortaokul başlarındaki çocuklar için sanırım ikinci yöntem daha kolay olacaktır. Belli bir soyut düşünme yeteneği kazanıldığında birinci yöntem gösterilebilir. Sonuçta birinci yöntem gerçekten verilen çıkarma işlemini yapıyor. İkinci yöntem ise elimizdeki işlemi bazı durumlarda aynı sonucu veren başka bir çıkarma işlemine dönüştürerek çalışıyor. Yani başka ama eşdeğer bir problemi çözmüş oluyoruz.

İki Almanya'nın birleşmesi

Bugün 3 Ekim, resmi tatil. 1990 yılında iki Almanya bugün yeniden birleşti. Tatil günleri her yer kapalı olduğundan Fransa'ya, Wissembourg'a gidelim, orada biraz alışveriş yaparız biraz da gezeriz diye düşündük. Aklın yolu bir tabii ki. Milyonlarca Alman da aynı planı yapmış ki, olduça sıkışık bir tafikle sınıra varabildik. İlk durağımız Deutsches Weintor.

Almanya'daki Weinstrasse bu noktadan başlıyor.

Sınırı geçtikten hemen sonra da hedefimizdeki şehre ulaştık. Tabii ki yollar ve yol kenarları Alman plakalı arabalarla doluydu. Buna bir de trafik kurallarına uymayan sabırsız Fransız sürücüler eklenince arabayı ara sokakların birine park etmemiz yaklaşık on dakika filan sürdü.  

İlk önce ufak bir piknikten sonra şehir duvarlarının yanındaki parkta gezdik. Çocuklar tırmanma duvarında yeteneklerini her zamanki gibi gösterdiler.

Serkan tırmanıyor

Ümit tırmanıyor

piknik yaptığımız yer

Kanal kenarında eski Fransız evleri

Ümit kanala dalmış

Baştan aşağıya kuş saldırısına uğramış şehir duvarı

Şehrin en büyük kilisesi

Ardından dere kenarını takip ederek fıskiyeye geldik. Çocuklar burada biraz suda oynadıktan sonra alışveriş yapıp eve döndük.

Okul gezisi: Taş devri

Ümit geçen hafta ilk okul gezisine gitti. Fen bilgisi dersinde taş devrini öğrendiklerinden bu konuda bazı deneme yapabilecekleri Edenkoben doğa bilimleri müzesinde bir gün geçirdiler ve gece de orada kaldılar. Müzede taş devrinde kullanılan bazı alet ve silahlar yapmışlar. Ayrıca taşların üzerine de çeşitli mağara resimleri yapmışlar. Aşağıda Ümit'in taş devrinden eve getirdiği örnekleri görebilirsiniz.

Bıçak

Odundan mum

Bence lombak ama işin uzmanları bunun mamut olduğunda hemfikir

Okul festivali

Okullar açılalı iki hafta oldu ama ilk festival bu hafta sonuydu. Ebeveynlerin tanıştığı, çocukların da oyun oynadığı, bol bol yemek yenilen tipik Alman kutlamalarından biriydi. Okul kütüphanesine yardımda bulunmak isteyenler çocukların kütüphanede görmek istediği kitapları satın almak için gönüllü oldular. Evde yapılan yemekler misafirlere satıldı. Aidat karşılığı okul aile birliğine yeni üyeler  kabul edildi. Çocukların tek ilgilendiği şeyler ise oyunlar oldu. Ben de bu oyunların bazılarını kaydetmeye çalıştım.

Yürümeyi yeni öğrendiklerinde Ümit Serkan'ın arabasını itiyordu, şimdi sıra Serkan'da.

Ümit aslında destek tekerleri olan tek tekerlekli bisiklete binmek istiyordu ama iki çocuk bu bisikletlere el koyduğundan mecburen arabayla idare etmek zorunda kaldık. Ümit'i cinayet işlemekten zor vaz geçirdim.

Serkan perende atma konusunda da Ümit'ten birkaç adım önde ama kızlar sanki herkesten daha önde.

Bakalım bu okul Serkan'a ne kadar dayanabilecek?

Filmlerde yaş sınırı

Bu akşam çocuklarla sinemaya gittik. Filmi de kendileri seçti, parçaları seyrettikten sonra. Filmin yaş sınırına baktığımızda FSK 12 ibaresi vardı, yanioniki yaşından büyükler için. Çocuklar birbuçuk yaş küçük kalıyorlar anlayacağınız. Ne yapacağız diye düşünürken imdadımıza başka bir kural yetişti. Eğer çocukların yanında ebeveynlerden en az biri varsa altı yaşından büyük çocuklar FSK 12 ibareli filmlere girebilirler. Bu bilgiyi biletlerin rezervasyonu sırasında da sinemadan teyit ettirdik. Aslında bu kural şu anlama geliyor: Bütün FSK 12 filmler aslında FSK 6 özelliklerini taşımalı. Peki o zaman neden iki değişik yaş sınırı var sorusu üzerine kafa patlatmayı başka bir zamana bırakıp yola çıktık. Rezervasyondaki biletleri film başlamadan yarım saat önce almak gerekiyor. Bu daha anlaşılır bir kural. Yani eğer film başlamadan yarım saat önce biletleri almadıysanız bunları sırada bekleyen başka sinemaseverlere satabiliriz demek. 

Tabii ki sinemaya film başlamadan onbeş dakika önce varabildik. Gişeye gittik ve "Rezervasyonumuz vardı" dedik. Görevli kadın listeye baktı ve "Filmden yarım saat önce gelmediğiniz için biletleri başkasına sattık" dedi. Hemen ardından da yeni bilet almamız gerektiğini ekledi. Doğruyu söylemek gerekirse bu cümleyi hala anlayabilmiş değilim. Yani bilet kalmadığı için başka birine bizim biletleri satmış ama o seans için hala boş yer var ya da ben bu kadar anlayabiliyorum. Hatta bize nereden yer istediğimizi bile sordu. Çocuklar arkada oturmak istedi ve üç adet biletimizi alıp Hercules adlı film için 10 numaralı salonda gittik.

Filmin başlamasına beş dakika vardı ve salonun onda biri belki doluydu. Gişedeki kadınla yaptığımız muhabbete gittikçe daha az anlam verebiliyordum. Ben hala Hercules film acaba gerçekten ebeveynler ile altı yaş sınırına sahip olabilir mi diye düşünürken ilk şok yola çıkmıştı bile. Gelecek filmlerin reklamları. Evet film belki gerçekten altı yaş içindi ama reklamlar değildi. İlk reklamda çocuklar hem gözlerini hem kulaklarını kapatıp eve gitmek istediklerini söylemeye başladılar. İkinci reklamda da (Dracula) bu durum devam edince salondan çıkıp dışarıda beklemeye karar verdik. Bu sırada Ümit neden korktuğunu açıklamaya başladı. İlk reklam günümüzde geçen bir olay olduğu için korkmuş, o zaman olaylar onun için gerçek oluyormuş. Dracula ya da Vikingler gibi filmlerdeki çok daha fazla ölüm sahnesi ise masal gibi etki yapıyormuş. Serkan daha aşırı tepki gösterdiğinden Vikingler ve Hobit reklamlarını dışarıda geçirdik. 

Bizim film başladığında bir kere daha denemeye karar verdik ve içeri girdik. Baştan sona kadar sayamadığım kadar çok insan öldürüldü filmde ama çocuklar eğleniyordu. Demek işin sırrı hikayenin gerçek olabilme ihtimaliymiş. Bizimkilerin bunu anlamak için kullandıkları tek kıstas da hikaye hangi zamanda nerede geçiyor sorusu. Günümüzdeyse ağiıyoruz, geçmişteyse gülüyoruz (ilk şoku atlatmak zaman alıyor ama). 

Sinema salonları reklam gösteriminde filmin yaş sınırına bağlı kalmayacaksa bir dahaki sefere işi sağlama alıp reklamlardan sonra içeri girmeyi düşünüyorum.  

  

Hediye almanın temel teoremi

Teorem: Hediye alırken ne kadar karmaşık bir plan yaparsanız yapın, o planı boşa çıkaran basit bir çözüm vardır.

Bunun en sık örnekleri çocuklara alınan hediyelerde görülür. Çocuğa robot, mikroskop ya da oyun konsolu gibi şeyler almanın temelinde yatan 'Arada ben de nasiplenirim ama çocukların odasında kalacağından benim ilgilenmem gerekmez. Win-win olayı işte.' diye yapılan planlar tarihte asla başarıya ulaşmamıştır. Ya çocuklar bu aletlerle hiç ilgilenmemişlerdir ve bütün iş size kalmıştır ya da hediyeden nasiplenememişsinizdir. 

Kısaca hiç kasmayın ve çocuk ne istiyorsa onu alın.

İspat: Tümevarım yöntemiyle bugüne kadar çocuklara alınan hediyelere bakalım.

Kristal büyütme için alınan kimyasal madde ve laboratuar gereçleri: Masamda duruyorlar.

Uzaktan kumandalı oldukça güzel bir çift Ferrari: Salondaki dolabın içinde bekliyorlar.

Uzaktan kumandalı helikopterler: Salondaki dolabın üzerindeler. Kumandaların yerini Allah bilir (Bir keresinde rabbime sormuştum Cleveland demişti ama açıkçası buna pek inanmıyorum).

Başlangıç için ebru seti: Bugün çocuklar odalarını topladılar ve boyaları artık masamın üzerinde.

Model uçaklar, gemiler: Çoğunlukla mutfaktalar.

Laptop: Bir başka masanın üzerinde.

Tablet, nintendo: Bana sıra gelmiyor.

QED.

PV = nRT

Belki liseden hatırlayanlarınız olacaktır, ideal kızlar yasasının formülü başlıktaki gibidir. Lisede her ne kadar kafamızı karıştırdıysa da günlük hayatı az çok takip eden birisi için bu yasayı anlamak çok kolay. Formülün ne demek istediğini anlamanın bir diğer yöntemi de formüldeki elemanların arasındaki bağıntıları çözmektir.

Formülü meydana getiren terimlere kısaca bakalım önce. Birimlere girmeyeceğim çünkü yasayı anlamak için bu kadar detaya gerek yok. Hesap yapmak isteyenler tabii ki birimlere dikkat etmelidir.

P : Barınç
V : Hazım
n : ortamdaki kızların sayısı
R : ideal ya da evrensel kız sabiti
T : Sıcaklık

Şimdi terimler arasındaki ilişkilere bakalım. PV ilişkisi ters orantılıdır, yani diğer terimler sabit kaldıkça biri artarsa diğeri azalır. Hazım düştükçe barınçın artması bundandır. Benzer şekilde P ve n arasındaki ilişkiyi de inceleyebiliriz. Bu ikisi de doğru orantılıdır, yani birisi artarsa diğeri de artar (diğer terimlerin sabit tutulduğunu var sayıyoruz yine). Ortamdaki kız sayısı artınca barınç artar, azalınca da barınç düşer. Son olarak da sıcaklığa bakalım. P ile T de birbirleriyle doğru orantılıdır, yani ortamdaki sıcaklık artarsa barınç artar, sıcaklık azalırsa barınç azalır.

Böylece son günlerdeki barınç artışını 180 yıllık bu formülle açıklayabildiğimi umuyorum. 

Öğrenciler! "Bu formül gerçek hayatta ne işimize yarayacak?" demeyin, bakın yarıyor işte.